USYD MATH1131（Mathematics 1A）和 MATH1141（Higher Mathematics 1A）是工程、计算机、商科、理科专业大一必修的微积分课程。
对很多中国留学生来说，高中数学成绩很好，却在大学微积分上感到"怎么突然不会了"——原因通常不是基础差，而是大学数学考察的是"为什么"，不只是"怎么算"。
本文从留学生视角出发，系统整理 MATH1131/1141 的核心考点和失分原因。
MATH1131 vs MATH1141：选哪个？
| 课程 | 难度 | 适合学生 | 主要区别 |
|---|---|---|---|
| MATH1131 | 标准 | 大多数工程/商科/CS 学生 | 标准微积分课程 |
| MATH1141 | 更高 | 数学系/高数基础强/荣誉项目 | 证明更严格，理论更深 |
建议：如果你不是数学系且没有竞赛数学背景，选 MATH1131 即可。MATH1141 的 HD 同样需要付出极大努力。
第一部分：极限（Limits）
1.1 极限的直觉理解
$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
意思是：当 x 趋近于 a（但不等于 a），f(x) 趋近于 L。
注意：f(a) 是否存在与极限无关！
1.2 常用极限技巧
代入法（最简单，先试）： $$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3) = 4 + 3 = 7$$
消因子法（分子分母都是 0 时）： $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x+3)(x-3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$$
L'Hôpital 法则（0/0 或 ∞/∞ 型）： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1$$
夹逼定理： $$-1 \leq \sin(1/x) \leq 1 \Rightarrow \lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$$
1.3 MATH1131 高频极限考点
| 极限类型 | 结果 | 使用条件 |
|---|---|---|
| $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ | 1 | 标准极限 |
| $\lim_{x\to\infty} (1+\frac{1}{n})^n$ | e | 自然对数底 |
| $\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x}$ | 1 | 指数型极限 |
| $\lim_{x\to\infty} \frac{p(x)}{q(x)}$ | 看最高次 | 多项式比 |
第二部分：导数（Differentiation）
2.1 基本求导规则
| 函数 | 导数 |
|---|---|
| $x^n$ | $nx^{n-1}$ |
| $e^x$ | $e^x$ |
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
| $\sin x$ | $\cos x$ |
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
| $\tan x$ | $\sec^2 x$ |
2.2 链式法则（Chain Rule）——最重要的规则
$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$
例子： $$\frac{d}{dx}[\sin(x^2)] = \cos(x^2) \cdot 2x = 2x\cos(x^2)$$ $$\frac{d}{dx}[e^{3x+1}] = e^{3x+1} \cdot 3 = 3e^{3x+1}$$
2.3 隐函数求导（Implicit Differentiation）
当方程不能直接写成 y = f(x) 时使用。
例子：$x^2 + y^2 = 25$，求 $\frac{dy}{dx}$
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0$$ $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$$
2.4 导数的应用——考试重点
1. 求极值（Optimization）：
- 令 f'(x) = 0，求临界点
- 用 f''(x) 判断极大（f'' < 0）还是极小（f'' > 0）
2. 相关变化率（Related Rates）：
"气球以 5 cm³/s 的速率充气，求当半径为 10 cm 时，半径增加速率"
- 写出 V = (4/3)πr³
- 对时间 t 求导：dV/dt = 4πr² · dr/dt
- 代入 dV/dt = 5, r = 10 求 dr/dt
第三部分：积分（Integration）
3.1 基本积分公式
| 函数 | 不定积分 |
|---|---|
| $x^n$ (n≠-1) | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln |
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
3.2 换元积分法（U-Substitution）
$$\int f(g(x)) \cdot g'(x) , dx = \int f(u) , du$$
例子：$\int 2x \cdot e^{x^2} , dx$
令 u = x², du = 2x dx： $$= \int e^u , du = e^u + C = e^{x^2} + C$$
判断何时用 U-sub：被积函数是"复合函数 × 其内层函数的导数"时。
3.3 分部积分（Integration by Parts）
$$\int u , dv = uv - \int v , du$$
LIATE 选 u 的优先级：Logarithm > Inverse trig > Algebra > Trigonometric > Exponential
例子：$\int x e^x , dx$
令 u = x, dv = eˣ dx，则 du = dx, v = eˣ： $$= xe^x - \int e^x , dx = xe^x - e^x + C = (x-1)e^x + C$$
第四部分：级数（Series）——MATH1131/1141 进阶内容
4.1 幂级数和泰勒展开
泰勒展开（在 x = 0 处，即 Maclaurin 级数）：
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$$
$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$$
$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$$
4.2 级数收敛判断——常用判别法
| 判别法 | 适用场景 |
|---|---|
| Ratio Test | 含 n! 或 rⁿ 的级数 |
| Root Test | 含 aⁿ 的级数 |
| Integral Test | 单调递减正项级数 |
| Comparison Test | 与已知收敛/发散级数对比 |
MATH1131 期末备考建议
周考（Online Quizzes）策略：
- 每周 Quiz 是期末考点的直接预演
- 错题一定要弄清楚为什么错，不只是看答案
期末考特点：
- 不允许带计算器（纯手算）
- 需要展示完整推导过程（只写答案不得分）
- 考试时间约 2 小时，题量大，速度很重要
最有效的备考方式：
- 先把所有公式记熟（默写公式表）
- 分类做历年 Past Paper（按极限、导数、积分、级数分类）
- 找到自己的弱点专项练习
需要辅导？
如果你在 MATH1131/1141 的某个模块上一直卡住（比如链式法则总是搞混、积分技巧不知道什么时候用哪种），一对一辅导可以针对你的具体问题制定练习计划，通常 2–3 次辅导就能明显提升。
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