MAST10006 Calculus 2 和 MAST10007 Calculus 1 是 University of Melbourne（UniMelb）STEM 类专业最核心的数学必修课，也是 UniMelb 留学生公认最难的入门课之一。
UniMelb 数学课的难点与其他澳洲大学有明显不同：更强调严格证明，不只是会算，还要能证明——这对习惯了计算型数学的中国留学生来说是一道真正的坎。
UniMelb 成绩体系
| 等级 | 百分制 | 说明 |
|---|---|---|
| H1（First Class Honours） | 80%+ | 等同于其他学校 HD，但门槛是 80% 而非 85% |
| H2A（Second Class Honours A） | 75–79% | 相当于 D |
| H2B（Second Class Honours B） | 70–74% | 相当于 CR 高段 |
| H3（Third Class Honours） | 65–69% | 相当于 CR 低段 |
| P（Pass） | 50–64% | 及格 |
| N（Fail） | <50% | 不及格 |
注意：UniMelb 的 H1 门槛是 80%，比其他学校的 HD（85%）低——很多人误以为 80% 就是"良好"，实际上在 UniMelb 已经是最高等级了。
MAST10007 Calculus 1 核心内容
第一部分：极限与连续性
ε-δ 极限定义（UniMelb 必考证明题）：
$$\lim_{x \to a} f(x) = L \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0: 0 < |x-a| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \epsilon$$
证明题标准格式：
题目：证明 $\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 5$
证明：
已知 |f(x) - L| = |(3x-1) - 5| = |3x - 6| = 3|x - 2|
要使 3|x-2| < ε，需要 |x-2| < ε/3
令 δ = ε/3，则当 0 < |x-2| < δ 时：
|f(x) - 5| = 3|x-2| < 3δ = 3·(ε/3) = ε ∎
极限计算常用方法：
- 直接代入（连续函数）
- 因式分解消去零因子
- L'Hôpital 法则（0/0 或 ∞/∞ 型）：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$
- 夹逼定理
第二部分：导数
求导法则汇总：
| 法则 | 公式 |
|---|---|
| 链式法则 | $(f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ |
| 乘积法则 | $(fg)' = f'g + fg'$ |
| 商法则 | $(f/g)' = (f'g - fg')/g^2$ |
| 隐函数求导 | 对方程两边对 $x$ 求导，$y$ 看作 $x$ 的函数 |
隐函数求导示例（UniMelb 常考）：
求 $x^2 + y^2 = 25$ 在点 $(3, 4)$ 处的切线斜率：
$$2x + 2y\frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y} = -\frac{3}{4}$$
第三部分：积分
积分技巧优先级（遇到积分先判断用哪种）：
- 直接公式：$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$
- 换元法（u-substitution）：识别内层函数，令 $u = g(x)$
- 分部积分法（Integration by Parts）：$\int u, dv = uv - \int v, du$，适合 $\ln x$、$e^x \sin x$、$x^n e^x$ 型
- 三角换元：根号下有 $a^2 - x^2$、$a^2 + x^2$、$x^2 - a^2$
- 部分分数法：有理函数分解
分部积分 LIATE 规则（选 $u$ 的优先级）： Logarithmic > Inverse Trig > Algebraic > Trigonometric > Exponential
MAST10006 Calculus 2 核心内容
第一部分：级数（Series）
收敛判断方法汇总：
| 判别法 | 适用情况 | 结论 |
|---|---|---|
| 比值判别法（Ratio Test） | $\sum a_n$，含阶乘或指数 | $L < 1$ 收敛，$L > 1$ 发散，$L=1$ 无结论 |
| 根值判别法（Root Test） | $a_n$ 含 $n$ 次幂 | 同上 |
| 积分判别法（Integral Test） | $a_n = f(n)$ 单调递减 | 级数和积分同收散 |
| 比较判别法（Comparison Test） | 对比已知收散级数 | $ |
| 交错级数判别法（AST） | 交错级数 $\sum (-1)^n a_n$ | $a_n \to 0$ 且递减则收敛 |
幂级数（Power Series）：
$$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} c_n (x-a)^n$$
收敛半径：$R = \lim_{n \to \infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|$（若极限存在）
Taylor 展开常见结果（必须背）：
$$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}, \quad \frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} x^n ;(|x|<1)$$
第二部分：多元微积分
偏导数：对某一变量求导，其他变量视为常数。
全微分：$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy$
梯度向量（Gradient）：
$$\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right)$$
二重积分（Double Integral）：
$$\iint_D f(x,y), dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y), dy, dx$$
极坐标变换：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dA = r,dr,d\theta$
UniMelb 数学期末考试特点与备考策略
考试特点：
- 时间 3 小时，题量大，有证明题
- 不允许计算器（大多数情况）
- 部分题目需要写出完整推导过程，步骤省略会扣分
备考策略：
- 把证明题单独练习：ε-δ 极限证明、收敛性证明是 UniMelb 数学的独特难点，要专门训练格式
- 做历年 Past Exams：UniMelb Library 和数学系网站提供多年真题
- 从错题中总结：归纳"哪类题容易出错"，针对练习
- Workshop 和 Consultation：UniMelb 数学系提供 Drop-in 辅导，但往往排队长，建议提前预约
相关资源：
